铅锤法求三角形面积的例题

例题 1

• 题目：在平面直角坐标系中，点$A(4,4)$，点$B(6,2)$，点$C(4,1)$，求$△OAB$的面积。

• 解析：过点$A$作$AC\perp x$轴于点$C$，则$AC$为$△OAB$的铅垂高，$A(4,4)$，点$C(4,1)$，所以$AC=4-1=3$。$O$点坐标为$(0,0)$，$B(6,2)$，则$△OAB$的水平宽为$B$点的横坐标$6$。根据铅锤法求面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为水平宽，$h$为铅垂高），可得$S_{△OAB}=\frac{1}{2}\times 6\times 3=9$。

例题 2

• 题目：抛物线$y=\frac{1}{2}{x}^2-2x-6$与$x$轴相交于点$A$、点$B$，与$y$轴相交于点$C$，点$P$是抛物线$BC$段上的一点，当$△PBC$的面积最大时，求出点$P$的坐标，并求出$△PBC$面积的最大值。

• 解析：

• 首先求$A$、$B$、$C$三点坐标，当$x=0$时，$y=-6$，所以$C(0,-6)$；当$y=0$时，$\frac{1}{2}{x}^2-2x-6=0$，即$x^2-4x-12=0$，因式分解得$(x-6)(x+2)=0$，解得$x_1=6$，$x_2=-2$，所以$A(-2,0)$，$B(6,0)$。

• 方法一：连接$OP$，设点$P(m,\frac{1}{2}{m}^2-2m-6)$，则$S_{△POC}=\frac{1}{2}OC\cdot x_P=\frac{1}{2}\times 6\cdot m=3m$，$S_{△BOP}=\frac{1}{2}OB\cdot |y_P|=\frac{1}{2}\times 6\times (-\frac{1}{2}{m}^2+2m+6)=3(-\frac{1}{2}{m}^2+2m+6)$，又$S_{△BOC}=\frac{1}{2}OB\cdot OC=\frac{1}{2}\times 6\times 6=18$，所以。当$m=3$时，$S_{△PBC}$最大，最大值为$\frac{27}{2}$，此时$P(3,-\frac{15}{2})$。

• 方法二：作$PQ\perp AB$于$Q$，交$BC$于点$D$。因为$B(6,0)$，$C(0,-6)$，设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$，将$B$、$C$两点坐标代入可得$\{\begin{array}{l}6k+b=0\\ b=-6\end{array}$，解得$\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-6\end{array}$，所以直线$BC$的解析式为$y=x-6$。则$D(m,m-6)$，$PD=(m-6)-(\frac{1}{2}{m}^2-2m-6)=-\frac{1}{2}{m}^2+3m$，$△PBC$的水平宽为$OB=6$，根据铅锤法求面积公式可得$S_{△PBC}=\frac{1}{2}OB\cdot PD=\frac{1}{2}\times 6\times (-\frac{1}{2}{m}^2+3m)=-\frac{3}{2}(m-3{)}^2+\frac{27}{2}$。当$m=3$时，$S_{△PBC}$最大，最大值为$\frac{27}{2}$，此时$P(3,-\frac{15}{2})$。

例题 3

• 题目：已知抛物线$y=a{x}^2+bx+5$经过$A(-5,0)$、$B(-4,-3)$两点，与$x$轴的另一个交点为$C$。点$P$为该抛物线上一动点（与点$B$、$C$不重合），设点$P$的横坐标为$t$，当点$P$在直线$BC$的下方运动时，求$△PBC$的面积的最大值。

• 解析：

• 首先将$A(-5,0)$、$B(-4,-3)$代入抛物线$y=a{x}^2+bx+5$可得$\{\begin{array}{l}25a-5b+5=0\\ 16a-4b+5=-3\end{array}$，解方程组得$a=1$，$b=6$，所以抛物线的表达式为$y=x^2+6x+5$。

• 令$y=0$，即$x^2+6x+5=0$，因式分解得$(x+1)(x+5)=0$，解得$x=-1$或$x=-5$，所以$C(-1,0)$。

• 由$B(-4,-3)$，$C(-1,0)$可得直线$BC$的解析式为$y=x+1$。

• 过点$P$作$PQ\perp x$轴分别交直线$BC$、$x$轴于点$Q$、$F$，过点$B$作$BE\perp PQ$交$PQ$于点$E$，则$S_{△PBC}=S_{△PBQ}+S_{△PCQ}=\frac{1}{2}PQ\cdot BE+\frac{1}{2}PQ\cdot CF=\frac{1}{2}PQ\cdot (BE+CF)$。由$B$、$C$坐标可得$BE+CF=3$，因为$P(t,t^2+6t+5)$，$Q(t,t+1)$，所以$PQ=(t+1)-(t^2+6t+5)=-t^2-5t-4$，则$S_{△PBC}=\frac{1}{2}\times 3\times (-t^2-5t-4)=-\frac{3}{2}(t^2+5t+4)=-\frac{3}{2}(t+\frac{5}{2}{)}^2+\frac{27}{8}$。所以当$t=-\frac{5}{2}$时，$△PBC$面积最大，最大值为$\frac{27}{8}$。