求抛物线与坐标轴围成的三角形面积的例题及解析

例题 1

• 题目：已知抛物线$y=x^2-4x+3$，求该抛物线与$x$轴、$y$轴的交点构成的三角形面积。

• 解析：

• 求抛物线与$x$轴的交点：令$y=0$，得到方程$x^2-4x+3=0$，因式分解为$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。所以抛物线与$x$轴的交点为$(1,0)$和$(3,0)$。

• 求抛物线与$y$轴的交点：令$x=0$，则$y=0^2-4\times 0+3=3$，所以抛物线与$y$轴的交点为$(0,3)$。

• 计算三角形面积：该三角形以抛物线与$x$轴两交点的距离为底，以与$y$轴交点的纵坐标的绝对值为高。底边长为$|3-1|=2$，高为$3$，根据三角形面积公式，可得$S=\frac{1}{2}\times 2\times 3=3$。

例题 2

• 题目：已知抛物线$y=-x^2+5x-4$，求此抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积。

• 解析：

• 求抛物线与$x$轴的交点：令$y=0$，即$-x^2+5x-4=0$，方程两边同时乘以$-1$得$x^2-5x+4=0$，因式分解为$(x-1)(x-4)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=4$。所以抛物线与$x$轴的交点为$(1,0)$和$(4,0)$。

• 求抛物线与$y$轴的交点：令$x=0$，则$y=-0^2+5\times 0-4=-4$，所以抛物线与$y$轴的交点为$(0,-4)$。

• 计算三角形面积：三角形的底为$|4-1|=3$，高为$|-4|=4$，根据三角形面积公式，可得$S=\frac{1}{2}\times 3\times 4=6$。

例题 3

• 题目：已知抛物线$y=a{x}^2-1$的焦点是坐标原点，求以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积。

• 解析：

• 求出$a$的值及抛物线方程：因为抛物线$y=a{x}^2-1$的焦点坐标为$(0,\frac{1}{4a}-1)$，又焦点是坐标原点，所以$\frac{1}{4a}-1=0$，解得$a=\frac{1}{4}$，则抛物线方程为$y=\frac{1}{4}{x}^2-1$。

• 求抛物线与$x$轴、$y$轴的交点：令$y=0$，则$\frac{1}{4}{x}^2-1=0$，即$x^2=4$，解得$x_1=-2$，$x_2=2$，所以抛物线与$x$轴的交点为$(-2,0)$和$(2,0)$；令$x=0$，则$y=-1$，所以抛物线与$y$轴的交点为$(0,-1)$。

• 计算三角形面积：该三角形的底为$|2-(-2)|=4$，高为$|-1|=1$，根据三角形面积公式，可得$S=\frac{1}{2}\times 4\times 1=2$。