陕西中考二次函数压轴题 “模型解题模板”

小编222025-09-30 12:21:31

针对陕西中考高频的 3 类二次函数压轴模型（铅锤法求面积、对称点找最短路径、等腰三角形分类讨论），整理 “步骤 + 公式 + 例题” 的标准化模板，直接套用即可快速破题，减少思路损耗。

一、模型 1：铅锤法求三角形面积（每年必考，占 3-4 分）

适用场景

已知二次函数上一动点 P，求

△ P A B

（A、B 为固定点）的面积或面积最值，尤其适合 A、B 在坐标轴上的情况。

解题模板（4 步走）

步骤	操作要点	公式 / 示例（以 A (1,0)、B (3,0)、P (m, -m²+4m-3) 为例）
1. 求固定线段 AB 的解析式	若 A、B 在 x 轴上，直接求直线 AB 的 y=kx+b（通常过 x 轴，b=0 或已知）	直线 AB：过 (1,0)、(3,0)，解析式为 $y = 0$ （x 轴）
2. 设动点 P 坐标，找 “铅锤高”	设 P (m, 抛物线上 y 值)，过 P 作 x 轴垂线交 AB 于 D，D 的 x=m，y = 直线 AB 的 y 值	D (m, 0)，铅锤高 $的值的值 ² ²$
3. 确定 “水平宽”	水平宽 = A、B 两点在 x 轴上的横坐标差（绝对值）	水平宽 $= ∣3 - 1∣ = 2$
4. 列面积公式，求最值	面积 $水平宽铅锤高$ ，转化为二次函数求最值（注意 m 的范围）	$S = \frac{1}{2} \times 2 \times (- m^{2} + 4 m - 3) = - m^{2} + 4 m - 3$ ，a=-1<0，顶点 m=2 时 S 最大 = 1

避坑提示

铅锤高需用 “P 的 y 值 - D 的 y 值”（若 P 在 D 下方，取绝对值），避免符号错误；
求最值前，先确定 m 的范围（如 P 在第一象限，需 x>0、y>0），确保顶点在范围内。

二、模型 2：对称点找最短路径（常考 “周长最小”“线段和最小”，占 3-4 分）

适用场景

已知动点 Q 在二次函数的对称轴上，求

△ Q A B

周长最小，或

Q A + QB

最小（A、B 为固定点）。

解题模板（5 步走）

步骤	操作要点	公式 / 示例（抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ ，对称轴 x=1，A (-1,0)、B (3,0)、Q 在 x=1 上）
1. 求抛物线对称轴	用公式 $x = - \frac{b}{2 a}$ ，或由交点式直接求（若过 (x1,0)、(x2,0)，对称轴 $x = \frac{x 1 + x 2}{2}$ ）	对称轴 $x = - \frac{2}{2 \times ( - 1 )} = 1$ ，或由 A (-1,0)、B (3,0) 得 $x = \frac{- 1 + 3}{2} = 1$
2. 找固定点的对称点	找 A（或 B）关于对称轴的对称点 A'（对称点横坐标 = 2× 对称轴 x - A 的 x，纵坐标不变）	A (-1,0) 关于 x=1 的对称点 A'(3,0)（与 B 重合，换找 B 的对称点 B'(-1,0)，与 A 重合）
3. 分析 “最短路径” 逻辑	周长 = QA+QB+AB，AB 为定值，故最小化 QA+QB；由对称得 QA=QA'，故 QA+QB=QA'+QB，当 A'、Q、B 共线时最小	因 A' 与 B 重合，故 Q 为 AB 与对称轴交点 (1,0)，此时 QA+QB=AB=4，周长最小
4. 求直线 A'B 的解析式	设直线 A'B：y=kx+b，代入 A'、B 坐标，解方程组得 k、b	若 A'(2,5)、B (3,0)，代入得 ${5 = 2 k + b 0 = 3 k + b$ ，解得 k=-5、b=15，解析式 $y = - 5 x + 15$
5. 求 Q 坐标	把对称轴 x 值代入直线 A'B 的解析式，得 Q 的 y 值	对称轴 x=1，代入 $y = - 5 x + 15$ ，得 y=10，故 Q (1,10)

避坑提示

对称点坐标计算：牢记 “关于 x=h 对称，x'=2h - x，y'=y”，避免算错横坐标（如 A (3,0) 关于 x=1 的对称点，x'=2×1 - 3=-1，不是 x'=1-3=-2）；
区分 “周长最小” 与 “线段和最小”：若周长含固定线段（如 AB），只需最小化另外两条线段和，无需考虑固定线段。

三、模型 3：等腰三角形分类讨论（常考 “是否存在点 P 使△PAB 为等腰三角形”，占 3-4 分）

适用场景

已知二次函数上一动点 P，判断是否存在 P 使

△ P A B

为等腰三角形（A、B 为固定点），求 P 的坐标。

解题模板（4 步走）

步骤	操作要点	公式 / 示例（A (1,0)、B (3,0)、P (m, -m²+4m-3)）
1. 计算固定线段 AB 的长度	用两点间距离公式 $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$	$A B = (3 - 1)^{2} + (0 - 0)^{2} = 2$
2. 分 3 种情况列方程	等腰三角形需满足 “两边相等”，分 3 种情况：①PA=AB；②PB=AB；③PA=PB	① $P A = 2$ ；② $PB = 2$ ；③ $P A = PB$
3. 用距离公式转化为方程，求解 m	每种情况单独列方程，注意平方后消去根号，简化计算（避免开方出错）	① $(m - 1)^{2} + (- m^{2} + 4 m - 3)^{2} = 2$ →平方得 $(m - 1)^{2} + (- (m - 1) (m - 3))^{2} = 4$ ，因式分解后求解； ②同理列 $(m - 3)^{2} + (- m^{2} + 4 m - 3)^{2} = 4$ ； ③ $(m - 1)^{2} = (m - 3)^{2}$ （y 坐标相同，平方后 y 项抵消），解得 m=2
4. 验证 m 的范围，确定 P 坐标	把 m 代入抛物线解析式得 P 的 y 值，验证 P 是否与 A、B 重合，或是否在限定象限（如第一象限）	①解得 m=1（与 A 重合，舍去）、m=3（与 B 重合，舍去）、m=1±√2（需验证是否在范围内）； ②同理筛选； ③m=2，P (2,1)（在第一象限，有效）

避坑提示

避免漏解：必须分 “PA=AB、PB=AB、PA=PB”3 种情况，不可只算 1-2 种；
验证重合：解出 m 后，需检查 P 是否与 A、B 重合（如 m=1 时 P=A，舍去），避免无效答案；
简化计算：当 A、B 在 x 轴上时，PA=PB 可转化为 “P 的横坐标为 AB 的中点横坐标”（如 A (1,0)、B (3,0)，中点 x=2，故 P 的 x=2），直接定位 m=2，无需列复杂方程。

四、模板使用技巧

先判模型再套模板：拿到题目后，先看问题是 “求面积”“找最短路径” 还是 “等腰三角形”，直接对应上述 3 类模板，避免思路混乱；
优先算 “简单情况”：如等腰三角形分类讨论，先算 “PA=PB”（通常计算最简单），再算 “PA=AB”“PB=AB”，节省时间；
写清步骤拿分：即使最后结果错，只要按模板写出 “设坐标→列方程→分情况”，就能拿到 60% 以上的步骤分（陕西中考按步骤给分）。

要不要我用这个模板，帮你拆解

标签：陕西中考

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