陕西中考数学易错点专项训练卷

一、选择题

1. 下列运算正确的是（ ）

   A. $a^3+a^3=2a^6$

   B. $(-a^2{)}^3=a^6$

   C. $a^6÷a^2=a^3$

   D. $a^3\cdot a^2=a^5$

2. 把抛物线$y=-x^2$向左平移$1$个单位，然后向上平移$3$个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）

   A. $y=-(x-1{)}^2+3$

   B. $y=-(x+1{)}^2+3$

   C. $y=-(x-1{)}^2-3$

   D. $y=-(x+1{)}^2-3$

3. 已知点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象上，若$x_1<x_2$，则（ ）

   A. $y_1<y_2$

   B. $y_1>y_2$

   C. $y_1=y_2$

   D. 无法确定$y_1$与$y_2$的大小关系

4. 如图，在$△ABC$中，$DE\parallel BC$，$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$，$BC=6$，则$DE$的长为（ ）

   A. $1$

   B. $2$

   C. $3$

   D. $4$

二、填空题

1. 若分式$\frac{x-2}{x+3}$的值为$0$，则$x$的值为__________。

2. 不等式组$\{\begin{array}{l}2x+1>-1\\ 3x-2⩽1\end{array}$的解集是__________。

3. 已知一个正多边形的内角和为$1440^{\circ }$，则这个正多边形的边数是__________。

4. 如图，在$Rt△ABC$中，$\angle C=90^{\circ }$，$AC=3$，$BC=4$，则$\sin A$的值为__________。

三、解答题

1. 计算：$\sqrt{12}-4\sin 60^{\circ }+(\pi -1{)}^0+(-\frac{1}{2}{)}^{-2}$。

2. 先化简，再求值：$(\frac{x}{x-1}-\frac{2}{x+1})÷\frac{1}{x^2-1}$，其中$x=\sqrt{2}$。

3. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB=4$，$BC=6$，点$E$在边$BC$上，且$BE=2$，连接$AE$，将$△ABE$沿$AE$折叠，点$B$的对应点为点$F$，求$CF$的长。

4. 某中学为了了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了本校部分学生进行问卷调查（每人限选一类），将调查结果进行整理后绘制成如下不完整的统计图。请根据图中信息，解答下列问题：

• 本次调查共抽取了多少名学生？

• 请将条形统计图补充完整。

• 若该中学共有$2000$名学生，估计该校喜爱体育节目的学生有多少名？

答案与解析

1. 选择题答案：D、B、D、B

2. 填空题答案：$2$；$-1<x⩽1$；$10$；$\frac{4}{5}$

3. 解答题答案与解析

• 本次调查共抽取的学生数为：$40÷20\%=200$（名）。

• 喜爱体育节目的学生数为：$200-40-60-80-20=20$（名），补充条形统计图略。

• 该校喜爱体育节目的学生约有：$2000\times \frac{20}{200}=200$（名）。

• 计算：

  $$\begin{array}{rl}& \sqrt{12}-4\sin 60^{\circ }+(\pi -1{)}^0+(-\frac{1}{2}{)}^{-2}\\ =& 2\sqrt{3}-4\times \frac{\sqrt{3}}{2}+1+4\\ =& 2\sqrt{3}-2\sqrt{3}+1+4\\ =& 5\end{array}$$

• 化简求值：

  $$\begin{array}{rl}& (\frac{x}{x-1}-\frac{2}{x+1})÷\frac{1}{x^2-1}\\ =& (\frac{x}{x-1}-\frac{2}{x+1})\times (x^2-1)\\ =& (\frac{x}{x-1}-\frac{2}{x+1})\times (x+1)(x-1)\\ =& x(x+1)-2(x-1)\\ =& x^2+x-2x+2\\ =& x^2-x+2\end{array}$$

  当$x=\sqrt{2}$时，原式$=(\sqrt{2}{)}^2-\sqrt{2}+2=4-\sqrt{2}$。

• 求$CF$的长：

  过点$F$作$FG\perp BC$于点$G$。

  由折叠可知，$AF=AB=4$，$EF=BE=2$，$\angle AFE=\angle B=90^{\circ }$。

  在$Rt△ABE$中，$AE=\sqrt{A{B}^2+B{E}^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。

  因为$S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB\cdot BE=\frac{1}{2}AE\cdot h$（$h$为$AB$边上的高），所以$h=\frac{AB\cdot BE}{AE}=\frac{4\times 2}{2\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。

  又因为$△EFG\sim △EAB$，所以$\frac{FG}{AB}=\frac{EG}{BE}=\frac{EF}{AE}$。

  即$\frac{FG}{4}=\frac{EG}{2}=\frac{2}{2\sqrt{5}}$，解得$FG=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$EG=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

  则$GC=BC-BE-EG=6-2-\frac{2\sqrt{5}}{5}=4-\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

  在$Rt△FGC$中，$CF=\sqrt{F{G}^2+G{C}^2}=\sqrt{(\frac{4\sqrt{5}}{5}{)}^2+(4-\frac{2\sqrt{5}}{5}{)}^2}=\frac{4\sqrt{5}}{5}\sqrt{2}$。

• 统计问题：

避坑提示

• 选择题：

• 注意幂的运算规则的正确运用，如同底数幂相乘除，底数不变，指数相加减；幂的乘方，底数不变，指数相乘。

• 抛物线平移时，要注意 “左加右减，上加下减” 的原则，这里的加减是针对$x$和$y$本身而言的。

• 对于反比例函数，当$k>0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，但如果不在同一象限则不能直接比较。

• 利用相似三角形的性质时，要注意对应边的比例关系。

• 填空题：

• 分式值为$0$时，要同时满足分子为$0$且分母不为$0$。

• 解不等式组时，要分别解出每个不等式的解集，然后取它们的公共部分。

• 正多边形内角和公式为$(n-2)\times 180^{\circ }$，通过内角和求出边数$n$。

• 正弦函数的定义是在直角三角形中，对边与斜边的比值。

• 解答题：

• 计算时要牢记特殊三角函数值，零指数幂和负指数幂的规则。

• 化简求值时，要先对原式进行化简，再代入求值，化简过程中要注意分式运算的准确性。

• 求线段长度时，可通过作辅助线，利用相似三角形、勾股定理等知识求解。

• 统计问题中，要理解各统计图的含义，根据已知数据求出所需的量。